Jenis - Jenis Bilangan

Jenis bilangan Terbagi menjadi beberapa jenis yaitu :

• Bilangan Asli
Bilangan Asli adalah bilangan yang dimulai dari satu dan bertambah satu. yaitu 1, 2, 3, 4,. ...
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.


• Bilangan Cacah
Bilangan Cacah adalah bilangan yang dimulai dari 0 dan bertambah satu-satu. Ada pula yang mengatakan bahwa bilangan cacah adalah gabungan dari bilangan asli dan nol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4. ...
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan bilangan cacah :
C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}
Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :
1. Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, ...}
2. Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
3. Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
4. Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
5. Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
6. Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}
Operasi pada bilangan cacah
1. Penjumlahan
o komutatif : a + b = b + a
o asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
o unsur identitas (netral) adalah nol (0)
o sifat tertutup pada penjumlahan
Penjumlahan dua atau lebih bilangan cacah selalu menghasilkan bilangan cacah
2. Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan a - b = c, sama artinya dengan b + c = a.
3. Perkalian
o komutatif : a x b = b x a
o asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
o distributif :
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
o unsur identitas perkalian adalah satu (1)
a x 1 = a
b x 1 = b
o semua bilangan cacah dikalikan dengan nol (0), hasilnya nol (0)
a x 0 = 0
b x 0 = 0
o sifat tertutup perkalian
semua perkalian bilangan cacah menghasilkan bilangan cacah juga.
4. Pembagian
o Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian
a : b = c ⟹ b x c = a
o 0 dibagi dengan bilangan cacah (kecuali 0), hasilnya nol (0)
o pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.


• Bilangan Bulat
Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan positif dan bilangan negatif atau bilangan cacah ditambah lawan bilangan asli, yaitu. -2, -1, 0, 1, 2. ...
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Tabel sifat-sifat operasi bilangan bulat
Penambahan Perkalian
closure:
a + b adalah bilangan bulat a × b adalah bilangan bulat
Asosiativitas:
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Komutativitas:
a + b = b + a a × b = b × a
Eksistensi unsur identitas:
a + 0 = a a × 1 = a
Eksistensi unsur invers:
a + (−a) = 0
Distribusivitas:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Tidak ada pembagi nol:
jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)


• Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang di tulis dalam bentuk a per b, dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0. Dengan kata lain,bilangan rasional merupakan gabungan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan, tetapi dibatasi pada pecahan desimal terbatas dan pecahan desimal terbatas berulang.
Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang erupakan rasio (pembagian) dari dua angka ( integer )
Contohnya adalah ¾ , 2/3, ½, 5/4, dll.
Pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilanga rasional.
Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 } semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

• Bilangan Irasional
Adalah Bilangan yang tidak dapat di tulis dalam bentuk a/b, akar2, akar,3
Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
= 3,1415926535.... atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Untuk bilangan :
= 1,4142135623730950488016887242096.... atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
dan untuk bilangan e:
= 2,7182818....
• Bilangan Imajiner
Adalah bilangan yang dinyatakan dengan "i" dan di defenisikan sebagai i = -1 atau i = akar -1 . akar -2 merupakan bilangan irasional, tetapi akan-2 merupakan bilangan imajiner karena tidak ada bilangan riil jika di kuadratkan menghasilkan -2
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

atau secara ekivalen

atau juga sering dituliskan sebagai
.
Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti:
), dengan j = −i.
• Bilangan Kompleks
bilangan Kompleks adalah bilangan yang ditulis dalam bentuk a + bi. bilangan komplek biasanya digunakan untuk menylesaikan sial-soal yang berhubungan dengan penarikan aka dari bilangan-bilangan negative
Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.



• Bilangan Riil
Bilangan Riil adalah gabungan antara bilangan Rasional dan bilangan Irasional. Bilangan Riil dilambangkan dengan huruf R
Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.[1]
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.
Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner

sumber : wikpedia dan buku math kelas 1-3 SMA

Sejarah Bilangan

Bilangan adalah simbol atau istilah yang digunakan untuk menyatakan suatu jumlah tertentu. Bilangan diperkirakan telah digunakan sekitar tahun 30.000 SM. Hal ini dibuktikan dari bebrapa goresan yang terdapat pada artefak yang ditemukan. Goresan-goresan tersebut diperkirakan menunjukkan sistem turrus/tally yang digunakan untuk menghitung hari atau jumlah sesuatu, seperti goresan yang terdapat di dinding gua di Afrika Selatan.

Bilangan yang mengenalkan nilai tempat pertama kali dikembangkan oleh bangsa Babilonia sekitar tahun 3.400 SM. Sistem bilangan ini disebut sistem sseksagesimal, yaitu sistem bilangan berbasis 60. Sistem bilangan ini dipakai dalam perhitungan detik, menit, dan jam selama satu hari. Pada tahun 3.100 SM bangsa Mesir mengenalkan bilangan basis 10, sistem bilangan ini kemudian disebut sistem desimal.

Pada tahun 260 SM , bangsa Romawi mengembangkan sistem bilangan sendiri, sistem bilangan ini disebut bilangan Romawi, pada awalnya bilangan Romawi untuk 4 adalah IIII dan 50 berbertuk tanda panah. Sistem bilangan Romawi yang kita kenal sekarang merupakan moderenisasi sistem lama.

• I –> lambang bilangan 1
• V–> lambang bilangan 5
• X –> lambang bilangan 10
• L –> lambang bilangan 50
• C –> lambang bilangan 100
• D –> lambang bilangan 500
• M –> lambang bilangan 1000

Pada tahun 825 M seorang ahli matematika Persia Muhammad Ibnu Musa Al-Khawarizmi mengenalkan sistem bilangan arab dalam bukunya “ Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah” . Sistem bilangan ini menggunakan bilangan 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . nama bilangan arab adalah sbb :

0  : Sifr
1  : Wahid
2  : Isynaini

3  : Tsalatsa
4  : Arba’a

5  : Khamsa
6  : Sitta

7  : sab’a

8 : samaniya

9 : Tis’a

Sejarah bilangan juga dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat
menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan
linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita
akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat,
dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai
pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks.

Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan
Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara
alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan
tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang
digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan
yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan
tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu
pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah
bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah .

ℕ 
Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}.

Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk
mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli
bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli
akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita
akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli
hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan
anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas
dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai
bilangan Cacah.

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada
bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan
beberapa bilangan memiliki notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca
buku Berhitung Sejarah dan Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan
adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah.
Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian
dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.

Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya
merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang
memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang
memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan
keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang
ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan
membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan
bulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan
cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4
= 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya
dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan
hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 =
-2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk
bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan

ℤ

bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 - 6, tetapi dapat juga
dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal
tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah.
Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}.
Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti
anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan
asli.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk
struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah,
terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif
(grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat
tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan
komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup,
komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem
bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan
sebelumnya.

Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat
tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek
menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh.
Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak,
maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh).
Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak
mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk
menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/n
dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka
persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat
membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan
(Field).

Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga
siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi
miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis
real). Ini berarti ada bilangan lain di luar sistem bilangan rasional. Bilangan
tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan
bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem
bilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapat
memenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masih
dapat diperluas.